数论笔记

本文是我的数论笔记的第一篇关于:4k+1型和4k+3型素数

4k+3型素数

$$ a^2\equiv-1\mod p $$

无解

假设有解，即存在$a$使得

$$ a^2\equiv-1\mod p $$

则不妨设$p=4k+3$

由费马小定理得：

$$ a^{p-1}\equiv1\mod p $$

但又有：

$$ a^{p-1}=a^{4k+2}=(a^2)^{2k+1}\equiv(-1)^{2k+1}\equiv-1\mod p $$

则矛盾

因此不存在

$4k+3$型的素数有无穷多个

假设只有有限个，易知不可能只有3是$4k+1$型素数。则记所有比3大的$4k+1$型素数为$p_1,p_2,\dots,p_k$

构造一个数: $4p_1p_2\dots p_k+3$

则这个数的任何一个素因子均不属于${p_i}$

但由于这个数模4余3，则它的素因子不可能都模4余1，否则它也会模4余1

因此它存在至少一个模4余3的素因子，且这个素因子不可能是3

则与所有比3大的$4k+1$型素数为$p_1,p_2,\dots,p_k$矛盾,因为存在一个新的比3大的$4k+1$型素数

存在一个数$a$使得$a^2\equiv-1\mod p$成立

这个数字就是$(\frac{p-1}{2})!$

其理由如下：

设$p=4k+1$

则由wilson定理得

$$ (p-1)!\equiv-1\mod p $$

即

$$ (p-1)!=(4k)!=(2k)!\times(2k+1)(2k+2)\dots(2k+2k) $$

$$ =(2k)!\times(4k+1-2k)(4k+1-(2k-1))\dots(4k+1-1) $$

$$ =(2k)!\times(-2k)(-(2k-1))\dots(-1)\=(2k)!\times(2k)!\equiv-1\mod p $$

从而原命题成立

存在无限多个$4k+1$型素数

假设只有有限个，记为$p_1,\dots,p_k$

构造一个新的数：$(p_1p_2\dots p_k)^2+1$

考虑任取这个数的一个素因子$p$，易知$p\notin{p_i}$

则有$(p_1p_2\dots p_k)^2\equiv-1\mod p$

从而$p$一定是$4k+1$型的素数

从而矛盾